Cuestiona el concepto del infinito a partir del ejemplo de un misterioso hotel
El infinito es uno de los conceptos matemáticos que más ha hecho devanarse los sesos a los científicos. Y realmente tiene su encanto preguntarse si todo en esta vida, empezando por los números y terminando por los sentimientos, tiene un final o, por el contrario, no acaba nunca. En el amor, la amistad y tantas otras bendiciones no hay aspiración mejor que la de alcanzar el infinito.
De esta tentadora reflexión se encarga una de las paradojas más famosas, la del Hotel Infinito, un fascinante concepto matemático y filosófico que desafía nuestra intuición sobre el infinito y que un siglo después sigue intrigando a los científicos.
La paradoja fue formulada por el matemático alemán David Hilbert (1862-1943), y se plantea en un escenario comprensible para todos. Nos propone Hilbert que imaginemos un hotel con un número infinito de habitaciones numeradas consecutivamente: 1, 2, 3, y así sucesivamente hasta el infinito. Ahora, supongamos que todas las habitaciones están ocupadas por huéspedes. Si llega un nuevo huésped solicitando alojamiento, ¿cómo podría el hotel acomodarlo si todas las habitaciones están ocupadas?
La solución a esta paradoja está en comprender la naturaleza y la esencia misma del infinito en matemáticas. Aunque pueda parecer rocambolesco, si se tratara de un hotel con infinitas habitaciones, siempre habría una solución para acomodar un nuevo huésped. ¿Cómo? Simplemente moviendo a cada huésped a la habitación con el número de habitación multiplicado por dos.
Es decir, el huésped de la habitación 1 se movería a la habitación 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6, y así sucesivamente. De esta forma, todas las habitaciones impares quedarían disponibles para los nuevos huéspedes.
Hay muchos infinitos
Esta paradoja ilustra una de las propiedades más intrigantes del infinito, y es que no todos los infinitos son iguales. La lógica nos llevaría a pensar que sumarle uno a un número infinito no cambiaría su tamaño. Pero en matemáticas hay diferentes tipos de infinitos. En este caso, el conjunto de números naturales (1, 2, 3, etc.) es infinito, pero el conjunto de números pares (2, 4, 6, etc.) es también infinito y tiene la misma “cantidad” de elementos que el conjunto de números naturales, aunque parece ser la mitad.
